page 382 le patriarche 383

- Six mille un au carré, ça fait combien ? Hum, ça fait trente six quelque chose et..

- Attends, vous vous rappelez peut-être de vos formules remarquables à l'école, l'une disait que 'a' au carré moins 'b' au carré, cela fait 'a' moins 'b' facteur de 'a' plus 'b', ce qui donne dans ce cas 1 au carré facteur de douze mille un. Et donc racine carrée de douze mille un.

Naoma a compris quand on pouvait arrondir ou pas :

- Dans ce cas nous pouvons arrondir à douze mille, car le un est bien négligeable, non ?

- Oui effectivement il est négligeable. Pour calculer une approximation de la racine carrée on peut utiliser la formule de la tangente de Newton.

Naoma a oublié ses cours de maths :

- C'est quoi la formule de la tangente ?

- C'est une méthode inventée par Newton pour trouver la valeur pour laquelle une fonction s'annule. Par exemple si je prends la fonction qui à X associe X au carré moins douze mille. Cette fonction s'annule pour X égale racine carrée de douze mille, ce que nous cherchons. La méthode consiste à choisir un point si possible pas trop loin de la valeur que l'on cherche, puis de trouver pour ce point pour qu'elle valeur de X la tangente s'annule. Ensuite avec cette nouvelle valeur on recherche de nouveau pour quelle valeur la tangente à la courbe s'annule, et ainsi de suite... La formule générale c'est que le terme suivant de la suite égale le terme actuel moins la valeur de la fonction pour ce terme divisé par la valeur de la dérivée de la fonction pour ce terme.

Je crois que je les ai semés, mais sans papier ce n'est pas très étonnant :

- C'est compliqué...

- Non pas trop tu vas voir, ces calculs constituent une suite. Il suffit de calculer quelques termes pour avoir une très bonne approximation. Pour la fonction X au carré moins A, la formule se

simplifie en un demi de X plus A divisé par X. Nous allons calculer deux ou trois termes tu vas voir. Par exemple pour 12000, 100 fois 100 donnant 10000, on peut amorcer la suite avec ce nombre, la valeur suivante dans la suite se calcule comme étant la moitié du terme actuel plus le nombre dont on cherche la racine divisée par le terme actuel, dans notre cas cela donne un demi de 100 plus 12000 sur 100, soit 100 plus 120, qui font 220. Divisée par 2 cela donne 110. Si on calcule le terme suivant on trouve un demi de 110 plus 120000 sur 110, soit...

Je fais rapidement le calcul sur le rocher...

- 219 sur deux, soit cent neuf et demi, qui doit être déjà une bonne approximation. Donc on peut dire, comme il faut deux fois cette longueur, que ce cratère est au plus à environ deux cent vingt kilomètres...

Méthode de la tangente

Calcul de la distance du cratère

Erik, pour une fois, fait preuve d'optimisme :

- Il peut être à moins cela dit. Combien ça ferait si on ne considère qu'ils ne mesure chacun que cinq cents mètres de haut ?

Je refais mes calculs et je tombe cette fois-ci sur presque quatre-vingt kilomètres, guère moins. Erik n'est pas très rassuré.

- Mouais, c'est pas beaucoup moins, en plus il avait quand même l'air assez grand, mais c'est difficile à dire à cette distance.

- Oui mais il me semble que nous n'en distinguions que le haut, ce qui voudrait dire qu'il était derrière la courbure de la Terre, donc à plus de deux cent kilomètres.

- En considérant qu'il fait bien un kilomètre de haut, et puis on en voyait pas que le haut, une bonne partie quand même, peut-être la moitié de la hauteur.

- Oui, bon mais c'est l'ordre de grandeur, de toute façon je ne sais pas non plus la taille de la planète, c'est juste que nous